Question

【题目】已知，如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得：a= ，c=﹣3．

∴抛物线的解析式为y= x2+ x﹣3

（2）

解：令y=0，则 x2+ x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣4

∴A（﹣4，0）、B（1，0）

令x=0，则y=﹣3

∴C（0，﹣3）

∴S△ABC= ×5×3=

设D（m， m2+ m﹣3）

过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y=﹣ x﹣3，则E（m，﹣ m﹣3）

DE=﹣ m﹣3﹣（ m2+ m﹣3）=﹣ （m+2）2+3

当m=﹣2时，DE有最大值为3

此时，S△ACD有最大值为 ×DE×4=2DE=6

∴四边形ABCD的面积的最大值为6+ =

（3）

解：如图所示：

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P1（x，﹣3）

∴ x2+ x﹣3=﹣3

解得x1=0，x2=﹣3

∴P1（﹣3，﹣3）；

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，

∵C（0，﹣3）

∴设P（x，3），

∴ x2+ x﹣3=3，

解得x= 或x= ，

∴P2（ ，3）或P3（ ，3）

综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（ ，3）或P3（ ，3）

【解析】（1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE∥y轴交AC于E，则E（m，﹣ m﹣3），可得到当△ADC面积有最大值时，四边形BCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．