题目内容
已知，如图：直线AB：y=-x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D．（1）求BD两点确定的直线解析式；
（2）若点C是x轴负半轴上的任意一点，过点C作AC的垂线与BD相交于点E，请你判断：线段AC与CE的大小关系并证明你的判断；
（3）若点G为第二象限内任一点，连接EG，过点A作AF⊥FG于F，连接CF，当点C在x轴的负半轴上运动时，∠EFC的度数是否发生变化？若不变，请求出∠EFC的度数；若变化，请求出其变化范围．
分析：（1）已知点A，B的坐标，证明△AOB≌△DOB后可得点D的坐标．设BD的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求出BD的解析式．（2）（3）题都需要考辅助线的帮助．要认清并且证明与之有关联的全等三角形方可解题．
解答：（1）解：对于直线y=-x+8，
令x=0，求得y=8；令y=0，求得x=8，
∴A（0，8），B（8，0），
∴OA=OB=8，
∴∠ABO=45°，
又∵DB⊥AB，
∴∠OBD=90°-∠ABO=45°，
又∵∠AOB=∠DOB=90°，
在△AOB和△DOB中
∵
，
∴△AOB≌△DOB（ASA），
∴OD=OA=8，
∴D（0，-8），
设BD的解析式为y=kx+b，
∴
，
∴
．
∴BD的解析式为y=x-8．
（2）
AC=CE，
证明：过点C作CF⊥BC，交BA的延长线于点F，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
又∵∠OBA=45°，
∴∠CFB=90°-45°=∠OBD，
∴CB=CF，
∵∠ACF+∠ACB=90°，∠ECB+∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ECB，
在△ACF和△ECB中
∵
，
∴△ACF≌△ECB（ASA），
∴AC=CE．
（3）∠EFC的度数不变，∠EFC=45°，
证明：过C作CH⊥CF交EF于H，
∵AC⊥CE，
∴∠FCH=∠ACE=90°，
∴∠FCA=∠HCE，
又∵AF⊥EF，
∴∠AFE=∠ACE=90°，
∴∠FAC=∠HEC，
在△AFC和△HCE中
∵
∴△AFC≌△HCE（ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=90°，
∴∠EFC=45°．
令x=0，求得y=8；令y=0，求得x=8，
∴A（0，8），B（8，0），
∴OA=OB=8，
∴∠ABO=45°，
又∵DB⊥AB，
∴∠OBD=90°-∠ABO=45°，
又∵∠AOB=∠DOB=90°，
在△AOB和△DOB中
∵
|
∴△AOB≌△DOB（ASA），
∴OD=OA=8，
∴D（0，-8），
设BD的解析式为y=kx+b，
∴
|
∴
|
∴BD的解析式为y=x-8．
（2）
AC=CE，证明：过点C作CF⊥BC，交BA的延长线于点F，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE=∠BCF=90°，
又∵∠OBA=45°，
∴∠CFB=90°-45°=∠OBD，
∴CB=CF，
∵∠ACF+∠ACB=90°，∠ECB+∠ACB=90°，
∴∠ACF=∠ECB，
在△ACF和△ECB中
∵
|
∴△ACF≌△ECB（ASA），
∴AC=CE．
（3）∠EFC的度数不变，∠EFC=45°，
证明：过C作CH⊥CF交EF于H，
∵AC⊥CE，
∴∠FCH=∠ACE=90°，
∴∠FCA=∠HCE，
又∵AF⊥EF，
∴∠AFE=∠ACE=90°，
∴∠FAC=∠HEC，
在△AFC和△HCE中
∵
|
∴△AFC≌△HCE（ASA），
∴CF=CH，
又∵∠FCH=90°，
∴∠EFC=45°．
点评：本题主要考查一次函数的性质以及全等三角形的判定定理，难度中等．
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