题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．
【答案】（1）y=﹣x2+2x．（2）当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；
（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2；
（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，
∴x=﹣
=﹣
=1．
解得：m=1．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．
（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．
将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．
解得：x1=﹣1，x2=3．
∵a=﹣1＜0，
∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．
（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：
∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．
∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．
∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，
∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．
①当k＜0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴﹣2k﹣4≤0．
解得：k≥﹣2．
②当k＞0时，
∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，
∴k﹣4≤﹣3．
解得；k≤1．
∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．
