Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）如果∠A=60°，则DE与DF有何数量关系？请说明理由；
（3）如果AB=5，BC=6，求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）连接OD，根据题意可得出∠1=∠C，则OD∥AC，由EF⊥AC可得出结论；
（2）连接AD，由圆周角定理可得出AD⊥BC，根据已知条件可得出∠3=30°，从而得出∠3=∠F，则AD=DF，由直角三角形的性质即可得出DF=2DE；
（3）设⊙O与AC的交点为P，连接BP，可求出BD，再根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式得出BP，再由勾股定理得出AP，则得出tan∠BAC的值．

解答：（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，∴∠2=∠C，
∵OD=OB，∴∠2=∠1，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵点D在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：DE与DF的数量关系是DF=2DE．连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，∴∠3=∠4=

1

2

∠BAC=

1

2

×60°=30°，
∵∠F=90°-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠3=∠F，∴AD=DF，
∵∠4=30°，EF⊥AC，
∴DE=

1

2

AD，∴DF=2DE；

（3）解：设⊙O与AC的交点为P，连接BP，
∵AB为直径，∴BP⊥AC，由上知BD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AD=

AB2-BD2

=

52-32

=4，
S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

AC•BP，
∴

1

2

×6×4=

1

2

×5×BP，
∴BP=

24

5

，
∴直角△ABP中，AP=

AB2- BP2

=

52-( 24 5 )2

=

7

5

，
∴tan∠BAC=

BP

AP

=

24 5

7 5

=

24

7

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，是一道综合题，难度中等．