Question

如图，直线y=-

3

3

x+

3

分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．
（1）C是⊙E上一点，连接BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO，求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式；
（3）若延长BC到P，使DP=2，连接AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，即可得出OB、OA、AB的长，已知了∠COD=∠CBD，那么C就是弧AO的中点，如果连接EC，根据垂径定理可得出EC⊥OA，设垂足为N，那么ON=

1

2

OA，而NC可通过EC-EN求得（EN是OB的一半），由此可得出C点坐标；
（2）已知了O、A、C三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（3）根据OA、OB的长，不难得出∠ABO=60°，那么∠ABP=∠OBP=30°，因此可得出∠ODB=∠ADP=60°，在直角三角形OBD中，可根据OB的长和∠OBD的正切值求出OD的长，即可求出AD的长为2，因此AD=DP，那么三角形ADP就是等边三角形，在三角形ABP中，∠ABP=30°，∠P=60°，因此∠BAP=90°即可证得PA与圆E相切．

解答：解：（1）连接EC交x轴于点N（如图）．
∵A、B是直线y=-

3

3

x+

3

分别与x轴、y轴的交点．
∴A（3，0），B（0，

3

）．
又∵∠COD=∠CBO，
∴∠CBO=∠ABC．
∴C是

OA

的中点，
∴EC⊥OA．
∴ON=

1

2

OA=

3

2

，EN=

OB

2

=

3

2

．
连接OE．
∴EC=OE=

3

．
∴NC=EC-EN=

3

2

．
∴C点的坐标为（

3

2

，-

3

2

）；

（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为y=ax（x-3）．
∵C（

3

2

，-

3

2

），
∴-

3

2

=a•

3

2

（

3

2

-3）．
∴a=

2 3

9

．
∴y=

2 3

9

x²-

2 3

3

x为所求；

（3）∵tan∠BAO=

3

3

，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°．
由（1）知∠OBD=∠ABD．
∴∠OBD=

1

2

∠ABO=

1

2

×60°=30°．
∴OD=OB•tan30°=1．
∴DA=2．
∵∠ADC=∠BDO=60°，PD=AD=2．
∴△ADP是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°．
即PA⊥AB．
即直线PA是⊙E的切线．

点评：本题考查了圆周角定理、垂径定理、二次函数解析式的确定、切线的判定等知识．