题目内容
【题目】平面直角坐标系中,横坐标为a的点 A在反比例函数
的图象上,点
与点
关于点
对称,一次函数
的图象经过点
(1)设,点
(4,2)在函数
,
的图像上.
①分别求函数 ,
的表达式;
②直接写出使 成立的
的范围;
(2)如图①,设函数 ,
的图像相交于点
,点
的横坐标为
,△
的面积为16,求
的值;
(3)设,如图②,过点
作
轴,与函数
的图像相交于点
,以
为一边向右侧作正方形
,试说明函数
的图像与线段
的交点
一定在函数
的图像上.
【答案】(1)①;②2<x<4;(2)k=6;(3)见解析.
【解析】
(1)由已知代入点坐标即可;
(2)面积问题可以转化为△AOB面积,用a、k表示面积问题可解;
(3)设出点A、A′坐标,依次表示AD、AF及点P坐标.
(1)解:∵点B(4,2) 在函数 ,
的图像上.∴k=4×2=8∴
∵点A在 上∴x=a=2,y=4∴点A(2,4)
∵A和点A'关于原点对称
∴点A'的坐标为(-2,-4)
∵一次函数y2=mx+n的图像经过点A'和点B
解得: ∴y2=x-2;
②由图像可知,当 时,y1=
图象在y2=x-2图象上方,且两函数图象在x轴上方,
∴由图象得: 2<x<4;
(2)解:)分别过点A、B作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连BO
∵O为AA′中点
S△AOB=S△ABA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为(a,)(3a,
)
∴×(
+
)×2a=8
解得k=6;
(3)解:设A(a , ),则A′(﹣a ,﹣
),代入
得
,
∴ ,
∴D(a,)
∴AD= ,
∵AD=AF,
∴ ,代入
得
,即P(
,
)
将点P横坐标代入 得纵坐标为
,可见点P一定在函数
的图像上.
故答案为(1)①;②2<x<4;(2)k=6;(3)见解析.
