题目内容
在矩形ABCD中.点E为BC边上的一动点,沿AE翻折,ABE与AFE重合,射线AF与直线CD交于点G.
(1)如图1,消退点E为BC中点时,线段AB、AG、GD之间具有怎样的数量关系?并给出证明;
(2)如图2,当BE:EC=3:1时,上问中的结论是否改变?写出证明过程;
(1)如图1,消退点E为BC中点时,线段AB、AG、GD之间具有怎样的数量关系?并给出证明;
(2)如图2,当BE:EC=3:1时,上问中的结论是否改变?写出证明过程;
(1)AG+GD=2AB.
证明:连接EG,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,
∴△ECG≌△EFG,
∴FG=CG,
∴AG=AF+FG=AB+FG,GD=DC-GC=AB-GC,
AG+GD=(AB+FG)+(AB-GC)=2AB.
(2)结论改变.
证明:过点E作EH⊥BC,分别交AG和AD于点H和I,
则HE∥GC,∠G=∠AHE,
又∠ADG=∠EFH=90°,
∴△ADG∽△EFH,
∴
=
①,
又BE:EC=3:1,
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+
DG,
代入①式得:
=
,
整理得:3AG=4AB+3GD.
证明:连接EG,
∵E是BC的中点,
∴BE=CE,
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,
∴△ECG≌△EFG,
∴FG=CG,
∴AG=AF+FG=AB+FG,GD=DC-GC=AB-GC,
AG+GD=(AB+FG)+(AB-GC)=2AB.
(2)结论改变.
证明:过点E作EH⊥BC,分别交AG和AD于点H和I,
则HE∥GC,∠G=∠AHE,
又∠ADG=∠EFH=90°,
∴△ADG∽△EFH,
∴
AG |
EH |
AD |
EF |
又BE:EC=3:1,
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+
3 |
4 |
代入①式得:
AG | ||
AB+
|
AD | ||
|
整理得:3AG=4AB+3GD.
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