题目内容

(2013•丰台区一模)如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∠CBD=30°,∠BCD=45°,若AB=2
2
.求四边形ABCD的面积.
分析:过点D作DE⊥BC于E,根据等腰直角三角形的性质求出AD、BD,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE,利用勾股定理列式求出BE,判断出△CDE是等腰直角三角形,然后求出CE的长,再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解.
解答:解:如图,过点D作DE⊥BC于E,
∵AB=AD,∠BAD=90°,
∴AD=AB=2
2

BD=2
2
×
2
=4,
∵∠CBD=30°,
∴DE=
1
2
BD=
1
2
×4=2,
BE=
BD2-DE2
=
42-22
=2
3

∵∠BCD=45°,
∴CE=DE=2,
∴BC=BE+CE=2
3
+2,
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=
1
2
×2
2
×2
2
+
1
2
×(2
3
+2)×2,
=4+2
3
+2,
=2
3
+6.
点评:本题考查了勾股定理,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线,把△BCD分成两个直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.
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