题目内容
24、某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边上建一货栈D，向三个村庄运送农用物资，路线是D→A→B→C→D和D→C→B→A→D．如果将A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上（把公路边近似看作直线），坐标如图所示．（1）试问在公路边是否存在一点D，使送货路线最短？若存在，请画出D点所在的位置；若不存在，请说明理由；
（2）通过观察，写出点D在该坐标系中的坐标．
分析：（1）过点A作公路的对称点A′，连接A′C与公路的交点就是所求点D；
（2）先根据轴对称的性质作出A′点并求出其坐标，得出过A′C的直线方程，再根据D点的坐标特点求出D点坐标即可．
（2）先根据轴对称的性质作出A′点并求出其坐标，得出过A′C的直线方程，再根据D点的坐标特点求出D点坐标即可．
解答：
解：（1）存在，因为路线D→A→B→C→D和D→C→B→A→D中AB、BC的长已经确定，不可能变化，只要找出点D，使AD、CD的和最小即可，那么只要过点A作公路的对称点A′，连接A′C与公路的交点就是所求点D；
（2）显然，A关于x轴的对称点A′的坐标为A′（1，-2），设A′C所在的直线的解析式为y=kx+b，则A′、C在直线上，得k+b=-2①，4k+b=1②，
①-②得-3k=-3，
所以k=1，b=-3，
所以直线A′C的解析式为y=x-3，
令y=x-3=0，得x=3，
所以直线A′C与x轴的交点为D（3，0），即D点坐标为（3，0）
解：（1）存在，因为路线D→A→B→C→D和D→C→B→A→D中AB、BC的长已经确定，不可能变化，只要找出点D，使AD、CD的和最小即可，那么只要过点A作公路的对称点A′，连接A′C与公路的交点就是所求点D；（2）显然，A关于x轴的对称点A′的坐标为A′（1，-2），设A′C所在的直线的解析式为y=kx+b，则A′、C在直线上，得k+b=-2①，4k+b=1②，
①-②得-3k=-3，
所以k=1，b=-3，
所以直线A′C的解析式为y=x-3，
令y=x-3=0，得x=3，
所以直线A′C与x轴的交点为D（3，0），即D点坐标为（3，0）
点评：本题考查的是最短路线问题及用待定系数法求一次函数的解析式，再根据x轴上点的坐标特点求出D点的坐标即可．
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某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A、B、C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D．
