题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知Px1y1Qx2y2),定义PQ两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为PQ两点的直角距离,记作dPQ).即dPQ)=|x2x1|+|y2y1|

如图1,在平面直角坐标系xOy中,A14),B52),则dAB)=|51|+|24|6

1)如图2,已知以下三个图形:

①以原点为圆心,2为半径的圆;

②以原点为中心,4为边长,且各边分别与坐标轴垂直的正方形;

③以原点为中心,对角线分别在两条坐标轴上,对角线长为4的正方形.

P是上面某个图形上的一个动点,且满足dOP)=2总成立.写出符合题意的图形对应的序号   

2)若直线ykx+3)上存在点P使得dOP)=2,求k的取值范围.

3)在平面直角坐标系xOy中,P为动点,且dOP)=3,⊙M圆心为Mt0),半径为1.若⊙M上存在点N使得PN1,求t的取值范围.

【答案】(1) ③;(2)﹣≤k≤;(3)﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5.

【解析】

1)分三种情况设出点P的坐标,按照两点的直角距离的定义可以直接求出结果,即可判断各结论是否符合题意;

2)分别求出直线ykx+3)经过特殊点(02),(0,﹣2)时k的值,由运动过程写出k的取值范围;

3)由(1)可判断满足dOP)=3的点是在以原点为中心,对角线在坐标轴上,且对角线长为6的正方形ABCD上,再分别求出⊙M与正方形在y轴左右两边最远距离为2t的值,即可写出结果.

解:(1)①如图1,点P在以原点为圆心,2为半径的圆上,

P点横坐标为1,则纵坐标为

P1),

根据定义两点的直角距离,dPO)=|20|+|0|2+≠2

故①不符合题意;

②如图2,点P在以原点为中心,4为边长,且各边分别与坐标轴垂直的正方形上时,

P2a)(a≠0),

dPO)=|20|+|a0|2+a≠2

故②不符合题意;

③如图3,点P在以原点为中心,对角线分别在两条坐标轴上,对角线长为4的正方形上时,

将点A02),D20)代入ykx+b

得,

解得,k=﹣1b2

yAD=﹣x+2

设点PAD上,坐标为(a,﹣a+2)(0≤a≤2),

dPO)=|a0|+|a+20|2

故③符合题意;

故答案为③;

2)当直线经过(02)时,将(02)代入直线ykx+3),

得,3k2

k

当直线经过(0,﹣2)时,将(0,﹣2)代入直线ykx+3),

得,3k=﹣2

k=﹣

运动观察可知,k的取值范围为﹣≤k≤

3)由题意,满足dOP)=3的点是在以原点为中心,对角线在坐标轴上,且对角线长为6的正方形ABCD上(如图4),

M在正方形ABCD外时,若MA2,则t=﹣5,若MC2,则t5

M在正方形ABCD内部时,

M到正方形ADAB边的距离恰好为2

t=﹣3+2

M到正方形DCBC边的距离恰好为2

t32

运动观察可知,t的取值范围为﹣5≤t≤3+232≤t≤5

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