题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知P（x1，y1）Q（x2，y2），定义P、Q两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离，记作d（P，Q）．即d（P，Q）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|
如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（5，2），则d（A，B）＝|5﹣1|+|2﹣4|＝6．
（1）如图2，已知以下三个图形：
①以原点为圆心，2为半径的圆；
②以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形；
③以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形．
点P是上面某个图形上的一个动点，且满足d（O，P）＝2总成立．写出符合题意的图形对应的序号 ．
（2）若直线y＝k（x+3）上存在点P使得d（O，P）＝2，求k的取值范围．
（3）在平面直角坐标系xOy中，P为动点，且d（O，P）＝3，⊙M圆心为M（t，0），半径为1．若⊙M上存在点N使得PN＝1，求t的取值范围．
【答案】(1) ③;(2)﹣
≤k≤；（3）﹣5≤t≤﹣3+2
或3﹣2≤t≤5．
【解析】
（1）分三种情况设出点P的坐标，按照两点的直角距离的定义可以直接求出结果，即可判断各结论是否符合题意；
（2）分别求出直线y＝k（x+3）经过特殊点（0，2），（0，﹣2）时k的值，由运动过程写出k的取值范围；
（3）由（1）可判断满足d（O，P）＝3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD上，再分别求出⊙M与正方形在y轴左右两边最远距离为2时t的值，即可写出结果．
解：（1）①如图1，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，
设P点横坐标为1，则纵坐标为
，
∴P（1，
），
根据定义两点的直角距离，d（P，O）＝|2﹣0|+|﹣0|＝2+≠2，
故①不符合题意；
②如图2，点P在以原点为中心，4为边长，且各边分别与坐标轴垂直的正方形上时，
设P（2，a）（a≠0），
则d（P，O）＝|2﹣0|+|a﹣0|＝2+a≠2，
故②不符合题意；
③如图3，点P在以原点为中心，对角线分别在两条坐标轴上，对角线长为4的正方形上时，
将点A（0，2），D（2，0）代入y＝kx+b，
得，
，
解得，k＝﹣1，b＝2，
∴yAD＝﹣x+2，
设点P在AD上，坐标为（a，﹣a+2）（0≤a≤2），
则d（P，O）＝|a﹣0|+|﹣a+2﹣0|＝2，
故③符合题意；
故答案为③；
（2）当直线经过（0，2）时，将（0，2）代入直线y＝k（x+3），
得，3k＝2，
∴k＝；
当直线经过（0，﹣2）时，将（0，﹣2）代入直线y＝k（x+3），
得，3k＝﹣2，
∴k＝﹣；
运动观察可知，k的取值范围为﹣≤k≤；
（3）由题意，满足d（O，P）＝3的点是在以原点为中心，对角线在坐标轴上，且对角线长为6的正方形ABCD上（如图4），
当M在正方形ABCD外时，若MA＝2，则t＝﹣5，若MC＝2，则t＝5，
当M在正方形ABCD内部时，
若M到正方形AD，AB边的距离恰好为2，
则t＝﹣3+2，
若M到正方形DC，BC边的距离恰好为2，
则t＝3﹣2，
运动观察可知，t的取值范围为﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2≤t≤5．
