题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知P(x1,y1)Q(x2,y2),定义P、Q两点的横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值的和为P、Q两点的直角距离,记作d(P,Q).即d(P,Q)=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|
如图1,在平面直角坐标系xOy中,A(1,4),B(5,2),则d(A,B)=|5﹣1|+|2﹣4|=6.
(1)如图2,已知以下三个图形:
①以原点为圆心,2为半径的圆;
②以原点为中心,4为边长,且各边分别与坐标轴垂直的正方形;
③以原点为中心,对角线分别在两条坐标轴上,对角线长为4的正方形.
点P是上面某个图形上的一个动点,且满足d(O,P)=2总成立.写出符合题意的图形对应的序号 .
(2)若直线y=k(x+3)上存在点P使得d(O,P)=2,求k的取值范围.
(3)在平面直角坐标系xOy中,P为动点,且d(O,P)=3,⊙M圆心为M(t,0),半径为1.若⊙M上存在点N使得PN=1,求t的取值范围.
【答案】(1) ③;(2)﹣≤k≤
;(3)﹣5≤t≤﹣3+2
或3﹣2
≤t≤5.
【解析】
(1)分三种情况设出点P的坐标,按照两点的直角距离的定义可以直接求出结果,即可判断各结论是否符合题意;
(2)分别求出直线y=k(x+3)经过特殊点(0,2),(0,﹣2)时k的值,由运动过程写出k的取值范围;
(3)由(1)可判断满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心,对角线在坐标轴上,且对角线长为6的正方形ABCD上,再分别求出⊙M与正方形在y轴左右两边最远距离为2时t的值,即可写出结果.
解:(1)①如图1,点P在以原点为圆心,2为半径的圆上,
设P点横坐标为1,则纵坐标为,
∴P(1,),
根据定义两点的直角距离,d(P,O)=|2﹣0|+|﹣0|=2+
≠2,
故①不符合题意;
②如图2,点P在以原点为中心,4为边长,且各边分别与坐标轴垂直的正方形上时,
设P(2,a)(a≠0),
则d(P,O)=|2﹣0|+|a﹣0|=2+a≠2,
故②不符合题意;
③如图3,点P在以原点为中心,对角线分别在两条坐标轴上,对角线长为4的正方形上时,
将点A(0,2),D(2,0)代入y=kx+b,
得,,
解得,k=﹣1,b=2,
∴yAD=﹣x+2,
设点P在AD上,坐标为(a,﹣a+2)(0≤a≤2),
则d(P,O)=|a﹣0|+|﹣a+2﹣0|=2,
故③符合题意;
故答案为③;
(2)当直线经过(0,2)时,将(0,2)代入直线y=k(x+3),
得,3k=2,
∴k=;
当直线经过(0,﹣2)时,将(0,﹣2)代入直线y=k(x+3),
得,3k=﹣2,
∴k=﹣;
运动观察可知,k的取值范围为﹣≤k≤
;
(3)由题意,满足d(O,P)=3的点是在以原点为中心,对角线在坐标轴上,且对角线长为6的正方形ABCD上(如图4),
当M在正方形ABCD外时,若MA=2,则t=﹣5,若MC=2,则t=5,
当M在正方形ABCD内部时,
若M到正方形AD,AB边的距离恰好为2,
则t=﹣3+2,
若M到正方形DC,BC边的距离恰好为2,
则t=3﹣2,
运动观察可知,t的取值范围为﹣5≤t≤﹣3+2或3﹣2
≤t≤5.
