Question

已知：如图①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t(s)(0<t<2)，解答下列问题：
（1）当t为何值时，QP∥BC ？
（2）设AQP 的面积为y(cm²) ，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQP'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中， 由题意知：AP = 5-t，AQ = 2t 若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC ∴,∴ ∴  所以当时 ，PQ∥BC （2）过点P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴ （3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴ ， 解得 若PQ把△ABC面积平分，则，即-+3t=3 ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分． （4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N， 若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC． ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴当时，四边形PQP'C 是菱形 此时， 在Rt△PMC中， ∴菱形PQP'C边长为