题目内容
11、如图,在锐角△ABC内有一点P,直线AP,BP,CP分别交对边于Q1,Q2,Q3,且∠PQ1C=∠PQ2A=∠PQ3B.
试问:点P是否必为△ABC的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.
试问:点P是否必为△ABC的垂心?如果是,请证明;如果不是,请举反例说明.
分析:首先假设∠AQ1C=∠AQ2B=∠BQ3C=α,显然只要证明α=90°,即P是△ABC的垂心即可.因而根据若平面上四点连成四边形的一个外角等于其内对角,四点共圆.则P、Q1、C、Q2,P、Q2、A、Q3,P、Q3、B、Q1分别四点共圆.连接Q1Q2,根据圆内接四边形的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角;同弧所对的圆周角相等.则可得到∠CQ2Q1=∠CPQ1=∠CBQ3,即可确定Q2、A、B、Q1四点共圆.观察图形根据∠AQ2B与∠AQ1B是同弧所对的圆周角,∠AQ1C与∠AQ1B两角互补.那么可求出∠AQ1C的度数.问题得解.
解答:
证明:设∠AQ1C=∠AQ2B=∠BQ3C=α,
∵∠AQ1C是四边形PQ3BQ1外角,∠AQ2B是四边形PQ1CQ2的外角,∠BQ3C是四边形PQ2AQ3的外角,
∴P、Q1、C、Q2,P、Q2、A、Q3,P、Q3、B、Q1分别四点共圆,
如图,连接Q1Q2,
∵∠CQ2Q1=∠CPQ1=∠CBQ3,
∴Q2、A、B、Q1四点共圆,
于是∠AQ2B=∠AQ1B,即α=180°-α=α,
∴α=90°,
∴P是△ABC的垂心.
证明:设∠AQ1C=∠AQ2B=∠BQ3C=α,
∵∠AQ1C是四边形PQ3BQ1外角,∠AQ2B是四边形PQ1CQ2的外角,∠BQ3C是四边形PQ2AQ3的外角,
∴P、Q1、C、Q2,P、Q2、A、Q3,P、Q3、B、Q1分别四点共圆,
如图,连接Q1Q2,
∵∠CQ2Q1=∠CPQ1=∠CBQ3,
∴Q2、A、B、Q1四点共圆,
于是∠AQ2B=∠AQ1B,即α=180°-α=α,
∴α=90°,
∴P是△ABC的垂心.
点评:本题考查了三角形垂心与圆,四点共圆的判定与性质,是一道综合性较强的题目.
练习册系列答案
相关题目
如图,在锐角△ABC中,以BC为直径的半圆O分别交AB,AC与D、E两点,且cosA=
,则S△ADE:S四边形DBCE的值为( )
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3 |
A、
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B、
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C、
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D、
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