题目内容

【题目】在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中,点E、M分别是线段AC、CD上的动点,连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MNDF于H,交AD于N

(1) 如图,当点M与点C重合,求证:DF=MN;

(2) 如图,假设点M从点C出发,以1 cm/s的速度沿CD向点D运动,点E同时从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,运动时间为t(t>0)

判断命题当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点的真假,并说明理由.

连结FM、FN,MNF能否为等腰三角形?若能,请写出a、t之间的关系;若不能,请说明理由

【答案】(1)证明见解析;(2)该命题是真命题.理由见解析;能.理由见解析;

【解析】

试题分析:(1)证明ADF≌△DNC,即可得到DF=MN;

(2)首先证明AFE∽△CDE,利用比例式求出时间t=a,进而得到CM=a=CD,所以该命题为真命题;

MNF为等腰三角形,则可能有三种情形,需要分类讨论.

试题解析:(1)∵∠DNC+ADF=90°DNC+DCN=90°

∴∠ADF=DCN.

ADF与DNC中,

∴△ADF≌△DNC(ASA),

DF=MN.

(2)该命题是真命题.

理由如下:当点F是边AB中点时,则AF=AB=CD.

ABCD,∴△AFE∽△CDE,

AE=EC,则AE=AC=a,

t==a.

则CM=1t=a=CD,

点M为边CD的三等分点.

能.理由如下:

易证AFE∽△CDE,,即,得AF=

易证MND∽△DFA,,即,得ND=t.

ND=CM=t,AN=DM=a-t.

MNF为等腰三角形,则可能有三种情形:

)若FN=MN,则由AN=DM知FAN≌△NDM,

AF=ND,即=t,得t=0,不合题意.

此种情形不存在;

)若FN=FM,由MNDF知,HN=HM,DN=DM=MC,

t=a,此时点F与点B重合;

)若FM=MN,显然此时点F在BC边上,如下图所示:

AN=DM,AD=CD,

ND=CM,

∴△MFC≌△NMD,FC=DM=a-t;

又由NDM∽△DCF,,即FC=

=a-t,

t=a,此时点F与点C重合.

综上所述,当t=a或t=a时,MNF能够成为等腰三角形.

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