Question

关于x的一元二次方程4x²+4（m-1）x+m²=0
（1）当m在什么范围取值时，方程有两个实数根？
（2）设方程有两个实数根x₁，x₂，问m为何值时，x12+x22=17？
（3）若方程有两个实数根x₁，x₂，问x₁和x₂能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式，求出不等式[4（m-1）]²-4×4m²≥0的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，化成（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17代入求出即可；
（3）根据当m≤

1

2

时，方程有两个实数根和x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，推出1-m＞0，

m2

4

＞0，即可得出答案．

解答：解：（1）∵当△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0时，方程有两个实数根，
即m≤

1

2

，
∴当m≤

1

2

时，方程有两个实数根；

（2）根据根与系数关系得：x₁+x₂=-

4(m-1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m2

4

，
∵x₁²+x₂²=17，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，
∴（1-m）²-

m2

2

=17＜
解得：m₁=8，m₂=-4，
∵当m≤

1

2

时，方程有两个实数根，
∴m=-4；

（3）∵由（1）知当m≤

1

2

时，方程有两个实数根，由（2）知，x₁•x₂=

m2

4

，
∴

m2

4

＞0，
∴当m≠0，且m≤

1

2

时，x₁和x₂能同号，
即m的取值范围是：m≠0，且m≤

1

2

．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．