Question

如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A、D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动.（点P异于点O）．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R；
①求证：PF＝PR
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形；若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为点S，试判断△RSF的形状．

Answer 1

（1）；（2）①过点P作PG⊥y轴，垂足为G，由题意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），则，，，根据点P（a，b）为抛物线上的动点可得，变形得：，在Rt△PGF中，根据勾股定理即可证得结论；②存在，（，－3），（，－3）；③直角三角形

试题分析：（1）由题意可得点A的坐标为（2，－1），根据抛物线的顶点为坐标原点O可设抛物线的解析式为，再将点A（2，－1）代入即可求得结果；
（2）①过点P作PG⊥y轴，垂足为G，由题意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1），则，，，根据点P（a，b）为抛物线上的动点可得，变形得：，在Rt△PGF中，根据勾股定理即可证得结论；
②由P（a，b），F（0，－1），R（a，1），根据勾股定理可表示出RF的长，由①可知：PF＝PR＝1－b，则可得当时△PFR为等边三角形，从而可以求得结果；
③连接SF、RF，由PF＝PR；PR∥FO可得∠1＝∠2，∠1＝∠3，即得，同理可得，则，即可得到结果.
（1）由题意可得：点A的坐标为（2，－1）
∵抛物线的顶点为坐标原点O
∴可设抛物线的解析式为：；
将点A（2，－1）代入可得：；解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①过点P作PG⊥y轴，垂足为G

由题意可知：F（0，－1），G（0，b），R（a，1）
∴，，
∵点P（a，b）为抛物线上的动点
∴，变形得：
在Rt△PGF中，由勾股定理可得：
∴PF＝PR；
②存在点P，使得△PFR为等边三角形；
∵P（a，b），F（0，－1），R（a，1）
∴
由①可知：PF＝PR＝1－b
∴当时△PFR为等边三角形
解得：，（不合题意，舍去）
∴当时，有，解得：，
∴点P的坐标为（，－3），（，－3）；
③△RSF为直角三角形.
如图，连接SF、RF

∵PF＝PR；PR∥FO
∴∠1＝∠2；∠1＝∠3
∴
同理可得：
∴
∴△RSF为直角三角形.
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．