题目内容

【题目】如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1 , 在l左上方部分的面积为S2 , 记S为S1、S2的差(S≥0).

(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式.

【答案】
(1)

解:过点B过BE⊥x轴,垂足为E.点E(4,0),

∴BE=4,AE=4,

∴△ABE为等腰直角三角形,

∴∠OAB=45°,

答:∠OAB=45°.


(2)

解:当点M、N重合到点C(0,4),

把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,

∴直线l的解析式y=x+4;

当点M、N重合到点A(8,0)时,把(8,0)带入y=x+b得b=﹣8,

∴直线l的解析式为y=x﹣8.


(3)

解:四边形OABC的面积为 ×4(4+8)=24,

直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.

当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.

过点N作x轴的垂线NH,

则NH=AH=MH,

设NH=a,

×2a×a=12,

解得:a=2

∴OH=8﹣2

∴点N的坐标为(8﹣2 ,2 ),

代入y=x+b得:b=4 ﹣8.

答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是4 ﹣8.


(4)

解:分为三种情况:

①如图在N1、M1时,当4 ﹣8≤b<0时,

OM=﹣b,AM=8﹣(﹣b)=8+b,

设直线AB的解析式是y=cx+d,

把A(8,0),B(4,4)代入得:

解得:

y=﹣x+8,

解方程组 得:

S1= AM×NH= ×2× × = b2+4b+16;

S2=24﹣S1,4

S=|S1﹣S2|= b2+4b+16﹣[24﹣( b2+4b+16)]= b2+8b+8,

②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4﹣b,

S2= (4﹣b)2,S1=24﹣S2

S=S1﹣S2=﹣b2+8b+8,

③﹣8<a<﹣8+4 时,如图,在N3、M3时,S1= ×2× × = b2+4b+16;

S2=24﹣S1

S=S2﹣S1=[24﹣( b2+4b+16)]﹣( b2+4b+16)=﹣ b2+8b+8.

综上可得,S=


【解析】(1)过点B过BE⊥x轴,垂足为E.求出点E的坐标,求出等腰直角三角形ABE即可;(2)把A(8,0)C(0,4)点代入y=x+b求出即可;(3)求出梯形的面积,过点N作x轴的垂线NH,得到NH=AH=MH,设NH=a,代入面积公式求出a,代入解析式求出b即可;(4)分为三种情况:①当0≤b≤4时,②当4 ﹣8≤b<0时,③③﹣8<a<﹣8+4 时,设直线AB的解析式是y=cx+d,把A(8,0),B(4,4)代入求出解析式,解两直线组成的方程组,求出交点坐标,根据梯形和三角形的面积求出S即可.
【考点精析】掌握一次函数的图象和性质是解答本题的根本,需要知道一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数k与b,作用之大莫小看,k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减;k为负来左下展,变化规律正相反;k的绝对值越大,线离横轴就越远.

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