题目内容
【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足为E,求证:BC=2AE.
小明经探究发现,过点A作AF⊥BC,垂足为F,得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE(如图2),使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答:△ABF与△BAE全等的条件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)
参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
(2)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为DC的中点,点F在AC的延长线上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的长;
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E分别在AB、AC边上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).
【答案】
(1)
:如图2,
作AF⊥BC,
∵BE⊥AD,∴∠AFB=∠BEA,
在△ABF和△BAE中,
,
∴△ABF≌△BAE(AAS),
∴BF=AE
∵AB=AC,AF⊥BC,
∴BF= BC,
∴BC=2AE,
故答案为AAS
(2)
解:如图3,
连接AD,作CG⊥AF,
在Rt△ABC中,AB=AC,点D是BC中点,
∴AD=CD,
∵点E是DC中点,
∴DE= CD= AD,
∴tan∠DAE= = ,
∵AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC中点,
∴∠ADC=90°,∠ACB=∠DAC=45°,
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴∠F+∠EAC=45°,
∵∠DAE+∠EAC=45°,
∴∠F=∠DAE,
∴tan∠F=tan∠DAE= ,
∴ ,
∴CG= ×2=1,
∵∠ACG=90°,∠ACB=45°,
∴∠DCG=45°,
∵∠CDF=∠EAC,
∴△DCG∽△ACE,
∴ ,
∵CD= AC,CE= CD= AC,
∴ ,
∴AC=4;
∴AB=4;
(3)
解:如图4,
过点D作DG⊥BC,设DG=a,
在Rt△BGD中,∠B=30°,
∴BD=2a,BG= a,
∵AD=kDB,
∴AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),
过点A作AH⊥BC,
在Rt△ABH中,∠B=30°.
∴BH= a(k+1),
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BC=2BH=2 a(k+1),
∴CG=BC﹣BG= a(2k+1),
过D作DN⊥AC交CA延长线与N,
∵∠BAC=120°,
∴∠DAN=60°,
∴∠ADN=30°,
∴AN=ka,DN= ka,
∵∠DGC=∠AND=90°,∠AED=∠BCD,
∴△NDE∽△GDC.
∴ ,
∴ ,
∴NE=3ak(2k+1),
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a(k+1)﹣2ak(3k+1)=2a(1﹣3k2),
∴ .
【解析】(1)作AF⊥BC,判断出△ABF≌△BAE(AAS),得出BF=AE,即可;(2)先求出tan∠DAE= ,再由tan∠F=tan∠DAE,求出CG,最后用△DCG∽△ACE求出AC;(3)构造含30°角的直角三角形,设出DG,在Rt△ABH,Rt△ADN,Rt△ABH中分别用a,k表示出AB=2a(k+1),BH= a(k+1),BC=2BH=2 a(k+1),CG= a(2k+1),DN= ka,最后用△NDE∽△GDC,求出AE,EC即可.此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的性质和判定,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质,中点的定义,解本题的关键是作出辅助线,也是本题的难点.
【题目】某校要从八年级甲、乙两个班中各选取10名女同学组成礼仪队,选取的两个班女生的身高如下(单位:cm): 甲班:168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
乙班:165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
(1)补充完成下面的统计分析表:
班级 | 平均数 | 方差 | 中位数 |
甲班 | 168 | 168 | |
乙班 | 168 | 3.8 |
(2)根据如表,请选择一个合适的统计量作为选择标准,说明哪一个班能被选取.