Question

（本小题满分10分）

数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。                                                            

如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC2= AD·AB

（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=900，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。

（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）

 

Answer 1

 

（1）显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，   1分

又AC>BC

∴AC=8，BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD∽△ABC，得AC2= AD·AB

∴AD=6.4      -------------------------------2分

∵CM平分∠ACB

∴AM：MB=AC：CB

解得，AM=---------------------------------     1分

∴MD=AD-AM=-----------------------------1分

（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c

由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC

2AB·CD=2AC·BC         -------------------------1分

又勾股定理，得AB2=AC2+BC2

∴AB2+2AB·CD =AC2+BC2+2AC·BC(等式性质)

∴AB2+2AB·CD =（AC+BC）2----------------------1分

∴AB2+2AB·CD+CD2 >（AC+BC）2--------------------2分

∴(AB+CD)2 >（AC+BC）2

又AB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分

 

 解析:略