题目内容
【题目】如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnnDn的面积是
．
A.①②B.②③C.②③④D.①②③④
【答案】C
【解析】
①由两组对边平行，证明出A1B1C1D1是平行四边形，再根据四边都相等，证明出是菱形.
②由①知四边形A2B2C2D2是菱形，根据中位线定理，四边形A4B4C4D4是菱形.
③根据中位线性质得到每边长的关系，从而计算出周长.
④三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半.
①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故①错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故②正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5＝
A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×
（a+b）＝
；
故③正确；
④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD＝ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnnDn的面积是
；
故④正确；
综上所述，②③④正确．
故选：C．
