题目内容
【题目】在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
∠ABC．
（1）如图1，以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），连接DE′．求证：DE′=DE；
（2）如图2，若∠ABC=90°，AD=4，EC=2，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
．
【解析】
试题分析：（1）先根据旋转的性质得BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，则∠E′BE=∠ABC，再利用∠DBE=
∠ABC易得∠DBE′=∠DBE，根据“SAS”判断△BDE′≌△BDE，所以DE′=DE；
（2）以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，利用等腰直角三角形的性质得∠BCE=∠BAD=45°，利用旋转的性质得∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，则∠DAE′=90°，在Rt△DAE′中利用勾股定理可计算出DE′=2
，然后就根据（1）的结论即可得到DE=DE′=2．
（1）证明：∵以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转，得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），
∴BE′=BE，∠E′BA=∠EBC，
∴∠E′BE=∠ABC，
∵∠DBE=∠ABC，
∴∠DBE=∠E′BE，即∠DBE′=∠DBE，
在△BDE′和△BDE中，
，
∴△BDE′≌△BDE（SAS），
∴DE′=DE；
（2）解：以点B为旋转中心，将△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA（点C与点A重合，点E到点E′处），如图2，
∵∠ABC=90°，BA=BC，
∴∠BCE=∠BAD=45°，
∵△EBC按顺时针方向旋转90°得到△E′BA，
∴∠BAE′=∠BCE=45°，AE′=CE=2，
∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°，
在Rt△DAE′中，∵DE′2=AD2+AE′2=42+22=20，
∴DE′=2，
由（1）的结论得DE=DE′=2．
