题目内容
如图1，已知矩形OABC中，OC=10，OA=6，在OA、OC边上选取适当的点E、F，将△OEF沿EF对折，使O点落在AB边上的D点．（1）当点E取在点A上，得图2，求出相应的OF的长；
（2）写出OF的取值范围；
（3）在如图1中过点D作DG∥AO交EF于点T，交OC于点G，连接OT，得到图3
①证明四边形OEDT是菱形；
②设AD长为x，请你利用所学的函数及其图象的有关知识判断，当x取什么值时，菱形OEDT的周长L取最大值，并求出周长L的最大值．
【答案】分析：（1）根据对折和矩形的性质得出∠OAF=∠DAF=∠AFO，推出OF=OA即可；
（2）根据图形即可求出答案；
（3）①根据SAS证△OTF≌△DTF，推出∠TOF=∠TDF=∠ADE，再证Rt△AED≌Rt△GTO，推出ED=OT，根据平行四边形的性质求出OE=DT，即可推出答案；
②根据勾股定理得出方程（10-x）2=102-62，求出x，依题意得出方程
，化成顶点式即可求出答案．
解答：（1）解：在图1中，根据题意
∵矩形ABCO，
∴AB∥OC，∠BAC=90°，
∵△EOF延AF折叠得到△ADF，
∴∠OAF=∠DAF=45°=∠AFO，
∴OF=OA=6
答：相应的OF的长是6．
（2）答：OF的取值范围是0＜OF≤6．
（3）①证明：∵FD=FO，∠DFE=∠EFO，FT=FT，
∴△OTF≌△DTF，
∴∠TOF=∠TDF=∠ADE，
∵AD=OG，∠A=∠TGO=90°，
∴Rt△AED≌Rt△GTO，
∴ED=OT，
∵OA=DG，AE=TG，
∴DT=EO，
∴ED=DT=OT=OE，
∴四边形OEDT是菱形．
②解：利用图2′Rt△DBC得：（10-x）2=102-62，
解得x=2或x=18（不合题意，舍去），
利用图2及（1）的结果得x=6，
所以2≤x≤6，
依题意得：
，
所以
（2≤X≤6），
由于函数值L在坐标轴（L轴）的右侧随x的增大而增大，所以当x=6时，L取最大值，
即
，
答：当x取6时，菱形OEDT的周长L取最大值，周长L的最大值是24．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
（2）根据图形即可求出答案；
（3）①根据SAS证△OTF≌△DTF，推出∠TOF=∠TDF=∠ADE，再证Rt△AED≌Rt△GTO，推出ED=OT，根据平行四边形的性质求出OE=DT，即可推出答案；
②根据勾股定理得出方程（10-x）2=102-62，求出x，依题意得出方程
，化成顶点式即可求出答案．解答：（1）解：在图1中，根据题意
∵矩形ABCO，
∴AB∥OC，∠BAC=90°，
∵△EOF延AF折叠得到△ADF，
∴∠OAF=∠DAF=45°=∠AFO，
∴OF=OA=6
答：相应的OF的长是6．
（2）答：OF的取值范围是0＜OF≤6．
（3）①证明：∵FD=FO，∠DFE=∠EFO，FT=FT，
∴△OTF≌△DTF，
∴∠TOF=∠TDF=∠ADE，
∵AD=OG，∠A=∠TGO=90°，
∴Rt△AED≌Rt△GTO，
∴ED=OT，
∵OA=DG，AE=TG，
∴DT=EO，
∴ED=DT=OT=OE，
∴四边形OEDT是菱形．
②解：利用图2′Rt△DBC得：（10-x）2=102-62，
解得x=2或x=18（不合题意，舍去），
利用图2及（1）的结果得x=6，
所以2≤x≤6，
依题意得：
，所以
（2≤X≤6），由于函数值L在坐标轴（L轴）的右侧随x的增大而增大，所以当x=6时，L取最大值，
即
，答：当x取6时，菱形OEDT的周长L取最大值，周长L的最大值是24．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
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