题目内容

已知△ABC，AC=BC，CD⊥AB于点D，点F在BD上，连接CF，AM⊥CF于点M，AM交CD于点E．
（1）如图1，当∠ACB=90°时，求证：DE=DF；
（2）如图2，当∠ACB=60°时，DE与DF的数量关系是______
（3）在2的条件若tan∠EAF= $数学公式$ ，EM= $数学公式$ ，连接EF，将∠DEF绕点E逆时针旋转，旋转后角的两边交线段CF于N、G两点，交线段BC于P、T两点（如图3），若CN=3FN，求线段GT的长．

解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=45°，∠DFC+∠DCF=90°，
∴AD=CD，
∵AM⊥CF，
∴∠DFC+∠FAM=90°，
∴∠DCF=∠FAM，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF；

（2）∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=30°，
∴ $\text{[math]}$ =Ctan30°= $\text{[math]}$ ，
∵∠ADE=∠FDC，∠DAE=∠DCF，
∴△ADE∽△CDF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DF= $\text{[math]}$ DE；

（3）∵tan∠EAF=tan∠ECM= $\text{[math]}$ ，EM= $\text{[math]}$ ，
∴EC=3 $\text{[math]}$ ，
设DE= $\text{[math]}$ x，则AD=4x，CD=4 $\text{[math]}$ x，CE=3 $\text{[math]}$ x，
∴x=1，
∴AD=4，DE= $\text{[math]}$ ，AE= $\text{[math]}$ ，AB=8，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EP∥AB，
∵DF= $\text{[math]}$ DE，
∴∠PET=60°，
∴△EPT为等边三角形，
∴EG∥AC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EG= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EP=ET=3，
∴GT=ET-GT= $\text{[math]}$ ；
分析：（1）此题需先根据已知条件得出AD=CD，∠DCF=∠FAM，∠ADE=∠FDC，再根据AAS证出△ADE≌△CDF，即可得出DE=DF；
（2）根据∠ACB=60°，得出△ABC是等边三角形，从而得出∠ACB=30°， $\text{[math]}$ =Ctan30°= $\text{[math]}$ ，再根据△ADE∽△CDF，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 的值，即可得出DE与DF的数量关系；
（3根据已知条件得出EC的值，再设DE= $\text{[math]}$ x，则AD=4x，CD=4 $\text{[math]}$ x，CE=3 $\text{[math]}$ x，求出x的值，根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得出EP∥AB，从而证出△EPT为等边三角形，求出EG的值，从而得出EP=ET=3，即可求出线段GT的长．
点评：此题考查了等腰直角三角形，全等三角形和相似三角形的判定与性质，锐角三角函数值，平行线分线段成比例等知识点；是一道综合题，解题时要注意有关知识的综合应用．