Question

已知A₁、A₂、A₃是抛物线y=x²上的三点，A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分别垂直于x轴，垂足为B₁、B₂、B₃，直线A₂B₂交线段A₁A₃于点C．
（1）如图，若A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1，2，3，求线段CA₂的长；
（2）如图，若将抛物线y=x²改为抛物线y=x²﹣x+1，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA₂的长；
（3）若将抛物线y=x²改为抛物线y=ax²+bx+c，A₁、A₂、A₃三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA₂的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

Answer 1

解：（1）方法一：∵A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A₁B₁=×1²=，A₂B₂=×2²=2，A₃B₃=×3²=
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴解得
∴直线A₁A₃的解析式为y=2x﹣，
∴CB₂=2×2﹣=
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=﹣2=．
（2）方法一：设A₁、A₂、A₃三点的横坐标依次为n﹣1、n、n+1，则A₁B₁=（n﹣1）²﹣（n﹣1）+1，A₂B₂=n²﹣n+1，A₃B₃=（n+1）²﹣（n+1）+1
设直线A₁A₃的解析式为y=kx+b．
∴
解得，
∴直线A₁A₃的解析式为y=（n﹣1）x﹣n²+．
∴CB₂=n（n﹣1）﹣n²+=n²﹣n+
∴CA₂=CB₂﹣A₂B₂=n²﹣n+﹣n²+n﹣1=
（3）当a＞0时，CA₂=a；当a＜0时，CA₂=﹣a．