Question

已知反比例函数的解析式为y=

1-k

x

（k≠1）．
（1）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下点A为双曲线y=

1-k

x

（x＜0）上一点，AB∥x轴交直线y=x于点B，若AB²-OA²=4，求反比例函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据反比例函数的性质得到1-k＜0，然后解不等式即可；
（2）设B（t，t），双曲线解析式为y=

m

x

，利用AB∥x轴且A点在反比例函数图象上可得到A点坐标为（

m

t

，t），然后利用勾股定理分别表示出AB²=（t-

m

t

）²，OA²=（

m

t

）²+t²，再利用AB²-OA²=4，得到方程（t-

m

t

）²-[（

m

t

）²+t²]=4，再解方程即可得到m的值，从而可确定反比例函数的解析式．

解答：解：（1）∵在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大，
∴1-k＜0，
∴k＞1；
（2）点B在直线y=x上，设B（t，t），1-k=m（m≠0），
故双曲线解析式为y=

m

x

（m≠0），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为t，
把y=t代入y=

m

x

得x=

m

t

，
∴A点坐标为（

m

t

，t），
∴AB²=（t-

m

t

）²，OA²=（

m

t

）²+t²，
∵AB²-OA²=4，
∴（t-

m

t

）²-[（

m

t

）²+t²]=4，解得：m=-2，
故1-k=-2，
∴反比例函数的解析式为y=

-2

x

．

点评：题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=

k

x

（k≠0）的图象为双曲线，当k＜0，图象发布在第二、四象限，在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大；掌握待定系数法求反比例函数解析式；运用勾股定理计算线段的长度．