题目内容

已知反比例函数的解析式为y= $数学公式$ （k≠1）．
（1）在反比例函数图象的每一条曲线上，y随着x的增大而增大，求k的取值范围；
（2）在（1）的条件下点A为双曲线y= $数学公式$ （x＜0）上一点，AB∥x轴交直线y=x于点B，若AB²-OA²=4，求反比例函数的解析式．

解：（1）∵在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大，
∴1-k＜0，
∴k＞1；
（2）点B在直线y=x上，设B（t，t），1-k=m（m≠0），
故双曲线解析式为y= $\text{[math]}$ （m≠0），
∵AB∥x轴，
∴A点的纵坐标为t，
把y=t代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ，
∴A点坐标为（ $\text{[math]}$ ，t），
∴AB²=（t- $\text{[math]}$ ）²，OA²=（ $\text{[math]}$ ）²+t²，
∵AB²-OA²=4，
∴（t- $\text{[math]}$ ）²-[（ $\text{[math]}$ ）²+t²]=4，解得：m=-2，
故1-k=-2，
∴反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据反比例函数的性质得到1-k＜0，然后解不等式即可；
（2）设B（t，t），双曲线解析式为y= $\text{[math]}$ ，利用AB∥x轴且A点在反比例函数图象上可得到A点坐标为（ $\text{[math]}$ ，t），然后利用勾股定理分别表示出AB²=（t- $\text{[math]}$ ）²，OA²=（ $\text{[math]}$ ）²+t²，再利用AB²-OA²=4，得到方程（t- $\text{[math]}$ ）²-[（ $\text{[math]}$ ）²+t²]=4，再解方程即可得到m的值，从而可确定反比例函数的解析式．
点评：题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）的图象为双曲线，当k＜0，图象发布在第二、四象限，在双曲线的每个分支内，y随着x的增大而增大；掌握待定系数法求反比例函数解析式；运用勾股定理计算线段的长度．