Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=10，BC=16，求DE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

连接OD、AD，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵AB=AC，

∴点D是BC的中点，

∵O是AC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AB，

∴∠ODE=∠BED，

∵DE⊥AB，

∴∠ODE=90°，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：

∵AB=AC，且∠ADC=90°，

∴CD= BC=8，∠B=∠C，

∴AD= =6，

∵∠BED=∠CDA，

∴△BED∽△CDA，

∴ = ，即 = ，

∴AC=4.8．

【解析】（1）连接OD、AD，由三角形中位线定理可求得OD∥AB，可得OD⊥DE，可得DE为⊙O的切线；（2）由条件可先求得CD、AD，再利用△BED∽△CDA，可求得DE．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)，还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键．