Question

【题目】图1为含锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．

（1）求直角三角尺边框的宽；

（2）求边B′C′的长．

Answer 1

【答案】（1）1cm；（2）+3

【解析】

（1）过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽， 由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD﹣OE求出DE的长，即三角尺的宽为1；

（2）设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1，得到AM＝2AH＝2，可计算出MN，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N长，即可得出答案．

解：（1）过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，

∵AC∥A′C′，

∴AC⊥OD，

∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB=4cm，

∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），

在Rt△AOE中，∠A=30°，

∴OE=OA=×2=1（cm），

∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）

则三角尺的宽为1cm；

（2）设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，

则有∠AMH=30°，AH=1，

得到AM=2AH=2，

∴MN=AM+AC+CN=3+2，

∵在Rt△MB′N中，∠B′MN=30°，

∴B′N＝MN×tan30°＝（3+2）×＝（+2）cm，

则B′C′=B′N+NC′=+3．

∴B′C′=3+．