题目内容
【题目】如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.
(1)求证:BE=DF
(2)连接AC交EF于点D,延长OC至点M,使OM=OA,连结EM、FM,试证明四边形AEMF是菱形.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、证明过程见解析
【解析】
试题分析:(1)、根据正方形的性质可得AB=AD,∠B=∠D=90°,然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DF;(2)、求出CE=CF,然后利用“边边边”证明△AEC和△AFC全等,根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FAC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC垂直平分EF,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得EM=FM,再判断出EF垂直平分AM,根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE=EM,然后根据四条边都相等的四边形是菱形证明.
试题解析:(1)、在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°, 在Rt△ABE和Rt△ADF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), ∴BE=DF;
(2)、∵BC=CD,BE=DF, ∴BC﹣BE=CD﹣CF, 即CE=CF,
在△AEC和△AFC中,, ∴△AEC≌△AFC(SSS), ∴∠EAC=∠FAC,
又∵AE=AF, ∴AC垂直平分EF, ∴EM=FM, ∵OM=OA, ∴EF垂直平分AM,
∴AE=EM, ∴AE=EM=FM=AF, ∴四边形AEMF是菱形.
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