Question

（2013•惠安县质检）如图，已知Rt△ABC中，∠A=30°，AC=6．边长为4的等边△DEF沿射线AC运动（A、D、E、C四点共线）．

（1）当等边△DEF的边DF、EF与Rt△ABC的边AB分别相交于点M、N（M、N不与A、B重合）时．
①试判定△FMN的形状，并说明理由；
②若以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，求此时MN的长．
（2）设AD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①根据已知得出∠AMD=∠FDE-∠A=30°，进而得出∠MNF=90°，
②设DM=x，根据∠MDG=60°，得出MG=

3

2

x，进而得出MN=

3

2

MF，利用MG=MN，求出即可；
（2）分别根据当0＜x≤2时，S_{四边形DENM}=S_△FDE-S_△FMN，②当2＜x＜4时，y_{五边形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE，
③如图3，当4≤x＜6时，CD=6-x，y=S_△PCD，④当x≥6时，y=0，得出即可．

解答：解：（1）如图1，①∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠F=60°．
∵∠A=30°，
∴∠AMD=∠FDE-∠A=30°，
∴∠FMN=∠AMD=30°，
∴∠MNF=90°，
即△FMN是直角三角形，
②如图2，过点M作MG⊥AC于点G，
设DM=x，
∵∠MDG=60°，
∴MG=

3

2

x，
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°，
∴MN=

3

2

MF=

3

2

(4-x)，
∵以点M为圆心，MN为半径的圆与边AC、EF同时相切，
则有MG=MN，
即

3

2

x=

3

2

(4-x)，
解得：x=2．
∴圆的半径MN=

3

2

(4-2)=

3

；

（2）∵∠AMD=∠A=30°，
∴DM=AD，
∴DM=AD=x，FM=4-x．
又∵△FMN是直角三角形，∠MFN=60°
∴MN=MF•sinF=（4-x）×

3

2

=

3

2

（4-x），
FN=

1

2

MF=

1

2

（4-x），
S_△FMN=

1

2

MN•FN=

1

2

×

3

2

（4-x）×

1

2

（4-x）=

3

8

（4-x）²．
①当0＜x≤2时，S_{四边形DENM}=S_△FDE-S_△FMN=4

3

-

3

8

（4-x）²=-

3

8

x²+

3

x+2

3

，
②当2＜x＜4时，
CE=AE-AC=4+x-6=x-2．
∵∠BCE=90°，∠PEA=60°，
∴PC=

3

(x-2)，
∴S_△PCE=

1

2

×

3

（x-2）（x-2）=

3

2

（x-2）²．
∴y_{五边形DCPNM}=S_△DEF-S_△FMN-S_△PCE=-

5

8

3

x2+3

3

x，
③如图3，当4≤x＜6时，CD=6-x，
∵∠BCE=90°，∠PDC=60°，
∴PC=

3

(6-x)，
∴y=S_△PCD=

1

2

×

3

（6-x）（6-x）=

3

2

（6-x）²，
④当x≥6时 y=0．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及到直角三角形的性质、锐角三角函数的定义、三角形的面积等知识，难度适中，注意自变量x的取值范围的分析与讨论．