题目内容

【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,PB⊥x轴于点B,点A与点B关于y轴对称.

(1)求一次函数,反比例函数的解析式;
(2)求证:点C为线段AP的中点;
(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,说明理由并求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.

【答案】
(1)

解:∵点A与点B关于y轴对称,

∴AO=BO,

∵A(﹣4,0),

∴B(4,0),

∵PB⊥x轴于点B,

∴P(4,2),

把P(4,2)代入反比例函数解析式可得m=8,

∴反比例函数解析式为y=

把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得 ,解得

∴一次函数解析式为y= x+1


(2)

证:∵点A与点B关于y轴对称,

∴OA=OB,

∵PB⊥x轴于点B,

∴∠PBA=∠COA=90°,

∴PB∥CO,

= =1,即AC=PC,

∴点C为线段AP的中点


(3)

解:存在点D,使四边形BCPD为菱形.

理由如下:

∵点C为线段AP的中点,

∴BC= AP=PC,

∴BC和PC是菱形的两条边,

由y= x+1可得C(0,1),

如图,过点C作CD∥x轴,交PB于点E,交反比例函数图象于点D,分别连接PD、BD,

∴D(8,1),且PB⊥CD,

∴PE=BE=1,CE=DE=4,

∴PB与CD互相垂直平分,即四边形BCPD为菱形,

∴存在满足条件的点D,其坐标为(8,1)


【解析】(1)由条件可求得P点坐标,利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式;(2)由平行线分线段成比例可求得AC=PC,可证得结论;(3)可先求得C点坐标,过C作CD∥x轴,交PB于点E,交反比例函数图象于点D,可求得此时D点坐标,可证得四边形BCPD为菱形.

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