Question

【题目】如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，点A与点B关于y轴对称．

（1）求一次函数，反比例函数的解析式；
（2）求证：点C为线段AP的中点；
（3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A与点B关于y轴对称，

∴AO=BO，

∵A（﹣4，0），

∴B（4，0），

∵PB⊥x轴于点B，

∴P（4，2），

把P（4，2）代入反比例函数解析式可得m=8，

∴反比例函数解析式为y= ，

把A、P两点坐标代入一次函数解析式可得 ，解得 ，

∴一次函数解析式为y= x+1

（2）

证：∵点A与点B关于y轴对称，

∴OA=OB，

∵PB⊥x轴于点B，

∴∠PBA=∠COA=90°，

∴PB∥CO，

∴ = =1，即AC=PC，

∴点C为线段AP的中点

（3）

解：存在点D，使四边形BCPD为菱形．

理由如下：

∵点C为线段AP的中点，

∴BC= AP=PC，

∴BC和PC是菱形的两条边，

由y= x+1可得C（0，1），

如图，过点C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，分别连接PD、BD，

∴D（8，1），且PB⊥CD，

∴PE=BE=1，CE=DE=4，

∴PB与CD互相垂直平分，即四边形BCPD为菱形，

∴存在满足条件的点D，其坐标为（8，1）

【解析】（1）由条件可求得P点坐标，利用待定系数法可求得一次函数和反比例函数的解析式；（2）由平行线分线段成比例可求得AC=PC，可证得结论；（3）可先求得C点坐标，过C作CD∥x轴，交PB于点E，交反比例函数图象于点D，可求得此时D点坐标，可证得四边形BCPD为菱形．