题目内容
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1、BC于D、F两点.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图②,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图②,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长.
(1)EA1=FC.理由如下:
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1,
∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,
在△ABE和△C1BF中,
,
∴△ABE≌△C1BF(ASA),
∴BE=BF,
∴A1B-BE=BC-BF,
即EA1=FC;
(2)四边形BC1DA是菱形.理由如下:
∵旋转角α=30°,∠ABC=120°,
∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=
(180°-120°)=30°,
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C1D,AD∥BC1,
∴四边形BC1DA是平行四边形,
又∵AB=BC1,
∴四边形BC1DA是菱形;
(3)过点E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA1=30°,
∴AG=BG=
AB=1,
在Rt△AEG中,AE=
=
=
,
由(2)知AD=AB=2,
∴DE=AD-AE=2-
.
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1,
∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,
在△ABE和△C1BF中,
|
∴△ABE≌△C1BF(ASA),
∴BE=BF,
∴A1B-BE=BC-BF,
即EA1=FC;
(2)四边形BC1DA是菱形.理由如下:
∵旋转角α=30°,∠ABC=120°,
∴∠ABC1=∠ABC+α=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=
1 |
2 |
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C1D,AD∥BC1,
∴四边形BC1DA是平行四边形,
又∵AB=BC1,
∴四边形BC1DA是菱形;
(3)过点E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA1=30°,
∴AG=BG=
1 |
2 |
在Rt△AEG中,AE=
AG |
cos∠A |
1 |
cos30° |
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由(2)知AD=AB=2,
∴DE=AD-AE=2-
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