Question

【题目】小强遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°, AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小强发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 ．

参考小强思考问题的方法，解决问题：

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）75°，AC的长为3；（2）.

【解析】

试题分析：(1)过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE的度数是75度，再利用平行线分线段成比例定理得出DE=1，AE=2+1=3,所以AC=AE=3；(2)先建立平行线，过点D作DF⊥AC于点F．得到AB∥DF，由平行线分线段成比例定理得到，由AE=2，得EF=1，AF=3，在Rt△AFD中，由∠FAD=30°，可算出DF和AD的长度，又因为AD=AC，于是可知道AB和AC的长度，再由勾股定理算出BC的长度即可.

试题解析：（1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,由两直线平行内错角相等可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE=180-75-30=75，再利用平行线分线段成比例定理得出CD:BD=ED:AD,因为AD=2，BD=2DC，所以DE=1，于是AE=2+1=3,因为AC=AE，所以AC的长为3；（2）过点D作DF⊥AC于点F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴，∵AE=2，∴EF=1，AF=2+1=3，AB=2DF．在△ACD中，∵∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在Rt△AFD中，∠FAD=30°，∴设DF=x, 则AD=2x，∴，解得：(舍去),∴DF=,AB=AC=AD=,∴BC==.