题目内容
【题目】已知二次函数(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,它的顶点为P,直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D,且CP:PD=2:3.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若tan∠PDB=,求这个二次函数的关系式.
【答案】(1)A(,0);(2).
【解析】
试题分析:(1)由二次函数的解析式可求出对称轴为x=1,过点P作PE⊥x轴于点E,所以OE:EB=CP:PD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,交PE于点G,构造直角三角形CDF,利用tan∠PDB=即可求出FD,由于△CPG∽△CDF,所以可求出PG的长度,进而求出a的值,最后将A(或B)的坐标代入解析式即可求出c的值.
试题解析:(1)过点P作PE⊥x轴于点E,∵,∴该二次函数的对称轴为:x=1,∴OE=1
∵OC∥BD,∴CP:PD=OE:EB,∴OE:EB=2:3,∴EB=,∴OB=OE+EB=,∴B(,0).
∵A与B关于直线x=1对称,∴A(,0);
(2)过点C作CF⊥BD于点F,交PE于点G,令x=1代入,∴y=c﹣a,令x=0代入,∴y=c,∴PG=a,∵CF=OB=,∴tan∠PDB=,∴FD=2,∵PG∥BD,∴△CPG∽△CDF,∴,∴PG=,∴a=,∴,把A(,0)代入,∴解得:c=﹣1,∴该二次函数解析式为:.
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