Question

（1）设a、b、c、d为正实数，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一个三角形的三边长分别为

a2+c2

，

b2+d2

，

(b-a)2+(d-c)2

，求此三角形的面积；
（2）已知a，b均为正数，且a+b=2，求U=

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

分析：（1）显然不能用面积公式求三角形面积，

a2+c2

的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形人手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决；
（2）用代数的方法求U的最小值较繁，运用对称分析，借助图形求U的最小值．

解答：解：如图1，作长方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延长DA至E，使DE=d，延长DC至F，使DF=b，连接EF、FB，
则BF=

a2+c2

，EF=

b2+d2

，BE=

(b-a)2+(d-c)2

，
从而可知△BEF就是题设的三角形；
而S_△BEF=S_{长方形ABCD}+S_△BCF+S_△ABE-S_△DEF
=（b-a）c+

1

2

ac+

1

2

（d-c）（b-a）-

1

2

bd
=

1

2

（bc-ad）；

（2）将b=2-a代入U=

a2+4

+

b2+1

中，得U=

a2+22

+

(2-a)2+12

，
构造图形（如图2），
可得U的最小值为A′B=

A′B′2+BB′2

=

13

．

点评：本题考查了二次根式在计算图形面积，勾股定理中的运用．关键是根据题意，构造图形求解．