题目内容
【题目】下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:
已知:如图,直线 l 和直线 l 外一点 A
求作:直线 AP,使得 AP∥l
作法:如图
① 在直线 l 上任取一点 B，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l 交于 B，C 两点.
② 连接 AC,AB,延长 BA 交⊙A 于点 D;
③ 作∠DAC 的平分线 AP，并反向延长.
所以直线 AP 就是所求作的直线
根据小星同学设计的尺规作图过程,
（1）使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明
证明:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB( ① )(填推理的依据)
∵∠DAC 是△ABC 的外角,
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB
∴∠DAC=2∠ABC
∵AP 平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠DAP
∴ ②
∴AP∥l( ③ )(填推理的依据)
【答案】（1）如图 见解析，（2）①等边对等角 ，②∠ABC=∠DAP ，③同位角相等，两直线平行.
【解析】
（1）根据角平分线的尺规作图即可得；
（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．
解：（1）如图所示，直线AP即为所求．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角），
∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），
∴∠DAC=2∠ABC，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAC=2∠DAP，
∴∠DAP=∠ABC，
∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），
故答案为：①等边对等角 ，②∠DAP =∠ABC ，③同位角相等，两直线平行．
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