Question

（2012•长沙）如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O₁与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O₂与x轴，y轴分别切于点R，点H．
（1）求两圆的圆心O₁，O₂所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心O₁，O₂之间的距离d；
（3）令四边形PO₁QO₂的面积为S₁，四边形RMO₁O₂的面积为S₂．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为

|s1-s2|

2 d

的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线过点O₁（m，m），O₂（n，n），利用待定系数法求出其解析式；
（2）本问有一定难度．可分以下步骤解决：
第1步：首先根据P、Q关于连心线对称，求出Q点的坐标；
第2步：求出m、n．利用两点间的距离公式，求出O₁Q，而O₁Q=m，从而得到关于m的一元二次方程，求解即可得到m的大小；同理求得n；
第3步：利用两点间距离公式求d．
（3）本问有一定难度．可分以下步骤解决：
第1步：假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax²+bx+c，因为开口向下，所以a＜0；
第2步：求出S₁、S₂，再代入计算得：

|s1-s2|

2 d

=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1；
第3步：根据抛物线过点P（4，1），Q（1，4），用待定系数法求得其解析式为：y=ax²-（5a+1）x+5+4a；
第4步：由抛物线在x轴上截得的线段长为1，即|x₁-x₂|=1，得到关于a的一元二次方程，此方程的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（a＜0）相矛盾，所以得出结论：这样的抛物线不存在．

解答：解：（1）由题意可知O₁（m，m），O₂（n，n），
设过点O₁，O₂的直线解析式为y=kx+b，则有：

mk+b=m nk+b=n

（0＜m＜n），解得

k=1 b=0

，
∴所求直线的解析式为：y=x．

（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O₁O₂对称．
∵P（4，1），直线O₁O₂解析式为y=x，∴Q（1，4）．
如解答图1，连接O₁Q．
∵Q（1，4），O₁（m，m），根据两点间距离公式得到：
O₁Q=

(m-1)2+(m-4)2

=

2m2-10m+17

又O₁Q为小圆半径，即QO₁=m，
∴

2m2-10m+17

=m，化简得：m²-10m+17=0 ①
如解答图1，连接O₂Q，同理可得：n²-10n+17=0 ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x²-10x+17=0 ③的两个根，
解③得：x=5±2

2

，∵0＜m＜n，∴m=5-2

2

，n=5+2

2

．
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂=

(m-n)2+(m-n)2

=8．

（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax²+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．
如解答图2，连接PQ．
由相交两圆性质可知，PQ⊥O₁O₂．
∵P（4，1），Q（1，4），
∴PQ=

(4-1)2+(1-4)2

=3

2

，又O₁O₂=8，
∴S₁=

1

2

PQ•O₁O₂=

1

2

×3

2

×8=12

2

；
又S₂=

1

2

（O₂R+O₁M）•MR=

1

2

（n+m）（n-m）=20

2

；
∴

|s1-s2|

2 d

=

|12 2 -20 2 |

2 ×8

=1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．
∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），
∴

16a+4b+c=1 a+b+c=4

，解得

b=-(5a+1) c=5+4a

，
∴抛物线解析式为：y=ax²-（5a+1）x+5+4a，
令y=0，则有：ax²-（5a+1）x+5+4a=0，
设两根为x₁，x₂，则有：x₁+x₂=

5a+1

a

，x₁x₂=

5+4a

a

，
∵在x轴上截得的线段长为1，即|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
即（

5a+1

a

）²-4（

5+4a

a

）=1，化简得：8a²-10a+1=0，
解得a=

5± 17

8

，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，
∴不存在这样的抛物线．

点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一元二次方程的解法及根与系数关系、两点间的距离公式、相交两圆的性质和圆的切线的性质等知识，涉及的考点众多．第（1）问起点不高；第（2）问可以难住不少考生；若没有（2）的正确计算结果，则第（3）问难以得出正确结论．所以本题难度很大，对考生的综合解题能力要求很高，但同学们只要平时学习打好基础，并将所学知识融会贯通，就能够以不变应万变．