题目内容
【题目】如图,二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求该二次函数的表达式;
(2)过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D,求直线AD的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,请解答下列问题:
①在x轴上是否存在一点P,使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动,同时,动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动,问:在运动过程中,当运动时间t为何值时,△DMN的面积最大,并求出这个最大值.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)y=﹣x﹣1;(3)P()或P(﹣4.5,0);当t=
时,S△MDN的最大值为
.
【解析】
(1)把A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c即可得到结果;
(2)在y=-x2+2x+3中,令y=0,则-x2+2x+3=0,得到B(3,0),由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3,由于AD∥BC,设直线AD的解析式为y=-x+b,即可得到结论;
(3)①由BC∥AD,得到∠DAB=∠CBA,全等只要当或
时,△PBC∽△ABD,解方程组
得D(4,5),求得
设P的坐标为(x,0),代入比例式解得
或x=4.5,即可得到
或P(4.5,0);
②过点B作BF⊥AD于F,过点N作NE⊥AD于E,在Rt△AFB中,∠BAF=45°,于是得到sin∠BAF 求得
求得
由于
于是得到
即可得到结果.
(1)由题意知:
解得
∴二次函数的表达式为
(2)在 中,令y=0,则
解得:
∴B(3,0),
由已知条件得直线BC的解析式为y=x+3,
∵AD∥BC,
∴设直线AD的解析式为y=x+b,
∴0=1+b,
∴b=1,
∴直线AD的解析式为y=x1;
(3)①∵BC∥AD,
∴∠DAB=∠CBA,
∴只要当:或
时,△PBC∽△ABD,
解得D(4,5),
∴
设P的坐标为(x,0),
即或
解得或x=4.5,
∴或P(4.5,0),
②过点B作BF⊥AD于F,过点N作NE⊥AD于E,
在Rt△AFB中,
∴sin∠BAF
∴
∴
∵
又∵
∴
∴当时,
的最大值为
