题目内容

【题目】如图,二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).

(1)求该二次函数的表达式;

(2)过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D,求直线AD的函数表达式;

(3)在(2)的条件下,请解答下列问题:

x轴上是否存在一点P,使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

动点M以每秒1个单位的速度沿线段AD从点A向点D运动,同时,动点N以每秒个单位的速度沿线段DB从点D向点B运动,问:在运动过程中,当运动时间t为何值时,△DMN的面积最大,并求出这个最大值.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)y=﹣x﹣1;(3)P()或P(﹣4.5,0);t=时,SMDN的最大值为

【解析】

(1)把A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c即可得到结果;
(2)在y=-x2+2x+3中,令y=0,则-x2+2x+3=0,得到B(3,0),由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3,由于ADBC,设直线AD的解析式为y=-x+b,即可得到结论;
(3)①由BCAD,得到∠DAB=CBA,全等只要当时,PBC∽△ABD,解方程组D(4,5),求得

P的坐标为(x,0),代入比例式解得x=4.5,即可得到P(4.5,0);
②过点BBFADF,过点NNEADE,在RtAFB中,∠BAF=45°,于是得到sinBAF 求得求得 由于于是得到 即可得到结果.

(1)由题意知:

解得

∴二次函数的表达式为

(2) ,y=0,

解得:

B(3,0),

由已知条件得直线BC的解析式为y=x+3,

ADBC

∴设直线AD的解析式为y=x+b

0=1+b

b=1,

∴直线AD的解析式为y=x1;

(3)①∵BCAD

∴∠DAB=CBA

∴只要当:,PBCABD

D(4,5),

P的坐标为(x,0),

解得x=4.5,

P(4.5,0),

②过点BBFADF,过点NNEADE

RtAFB,

sinBAF

又∵

∴当,的最大值为

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