Question

【题目】（1）已知二次函数的图像如图，请根据图像直接写出该二次函数图像经过怎样的左右平移，新图像通过坐标原点？

（2）在关于二次函数图像的研究中，秦篆晔同学发现抛物线（）和抛物线（）关于轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀化“、不变，相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“、相反，不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物线的对称图形的解析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；

（3）抛物线与轴从左到右交于、两点，与轴交于点，是其对称轴上一点，点在轴上，当点满足怎样的条件，以点、、为顶点的三角形与△有可能相似，请写出所有满足条件的点的坐标；

（4）、为抛物线上两点，且、关于对称，请直接写出、两点的坐标；

Answer 1

【答案】（1）向左移1个单位；（2）原抛物线关于原点对称；（3）（4）

【解析】

试题分析：（1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；

（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可判断；

（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可讨论，求解；

（4）设E的坐标是（，），由点E与F关于点D（ ，0）对称，则可得F的坐标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．

（1）y=(x-1)(x-3)与x轴的交点坐标为（1,0），（3,0），抛物线向左平移一个单位或者3个单位即可使新图像通过坐标原点。

（2）y=(x-1)(x-3)=,

因为小胡同学听成了a、c相反，b不变，

所以y=,

顶点坐标为（-2,1）

故与原抛物线关于原点对称。

（3）中M点是在抛物线的对称轴上，所以MA=MB,即为等腰三角形，

又与相似，

为等腰三角形，

在x轴上，

或

当时，即N点在B点右侧且BC=BN,易得

当时，即N点在B点左侧，

若的底角为，此时三角形为等腰三角形，易得N（0,0）或N（-3,0）；

若的顶角为，在中BC=BN=易得

设E，

由点E与点F关于点D对称，则可得F，

所以点E和点F的纵坐标是互为相反数，既有

解得（舍）