题目内容
【题目】已知:菱形ABCD中,∠B=60°,将含60°角的直角三角板的60°角的顶点放到菱形ABCD的顶点A处,两边分别与菱形的边BC,CD交于点F,E.
(1)(如图1)求证:AE=AF;
(2)连结EF,交AC于点H(如图2),试探究AB,AF,AH之间的关系;
(3)若AB=6,EF=2,且CE<DE,求FH的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】分析:(1)由菱形的性质得到AD=AC, ∠ACB=∠D,从而用ASA判定出△ACF≌△ADE.
(2)由AE=AF,∠EAF=600,得到△AEF是等边三角形,进而得到∠BAF=∠CAE,从而有△BAF∽△CAH,由相似三角形的性质即可得到结论.
(3)由等边三角形的性质得到AF=EF=AE,再由AF2=AB·AH,得到AH的长,进而得到CH的长,通过证明△CEH∽△DAE,得到,进而求出CE、EH,FH的长.
详解:(1)连结AC.
∵ABCD是菱形,∠B=60°,
∴∠BAD=∠BCD=120°,∠D=60°,
∠ACD=∠ACB=∠BCD,∠BAC=∠DAC=∠BAD.
∴∠ACB=∠DAC=∠D=60°.
∴AD=AC.
∵∠EAF=60°,∴∠CAF+∠CAE=∠DAE+∠CAE.
∴∠CAF=∠DAE.
∴△ACF≌△ADE.
∴AE=AF.
(2)∵AE=AF,∠EAF=600,∴△AEF是等边三角形.
∴∠AEF=600=∠B.
∴∠BAF+∠CAF=∠CAE+∠CAF=600.
∴∠BAF=∠CAE.
∴△BAF∽△CAH.
∴.∴AB·AH=AE·AF,即AF2=AB·AH.
(3)∵△AEF是等边三角形,∴AF=EF=AE.
∵AF2=AB·AH,AB=6,EF=2,∴AH=.
∵∠B=∠ACB=600,∴AB=AC=6.
∴CH=AC-AH=6-=.
∵∠AEF=600,∴∠CEH+∠AED=1200.
∵∠D=600,∴∠DAE+∠AED=1200.
∴∠CEH=∠DAE.
∵∠ACD=∠D=600,∴△CEH∽△DAE.
∴.
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD=6,
∴.∴CE=2或CE=4.
∵CE<DE,∴CE=2.
∴.∴EH=.∴FH=EF-EH=.