题目内容
如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,交矩形的对角线BD于点E,点F是BC边的中点,连接EF.
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若DC=2,EF=
,P是⊙O上除E、C两点外的任意一点,则∠EPC的度数为 .
(1)试判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若DC=2,EF=
3 |
考点:切线的判定,矩形的性质
专题:
分析:(1)直线EF与⊙O相切.理由如下:如图,连接OE、OF.通过△EFO≌△CFO(SAS),证得∠FEO=∠FCO=90°,则直线EF与⊙O相切.
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°,利用(1)中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=
,所以通过解直角△BCD来求∠D的度数即可.
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°,利用(1)中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=
3 |
解答:解:(1)直线EF与⊙O相切.理由如下:
如图,连接OE、OF.
∵OD=OE,
∴∠1=∠D.
∵点F是BC的中点,点O是DC的中点,
∴OF∥BD,
∴∠3=∠D,∠2=∠1,
∴∠2=∠3.
∴在△EFO与△CFO中,
,
∴△EFO≌△CFO(SAS),
∴∠FEO=∠FCO=90°,
∴直线EF与⊙O相切.
(2)如图,连接DF.
∵由(1)知,△EFO≌△CFO,
∴FC=EF=
.
∴BC=2
在直角△FDC中,tan∠D=
=
,
∴∠D=60°.
∵点E、P、C、D四点共圆,
∴∠EPC+∠D=180°,
∴∠EPC=120°.
故填:120°.
如图,连接OE、OF.
∵OD=OE,
∴∠1=∠D.
∵点F是BC的中点,点O是DC的中点,
∴OF∥BD,
∴∠3=∠D,∠2=∠1,
∴∠2=∠3.
∴在△EFO与△CFO中,
|
∴△EFO≌△CFO(SAS),
∴∠FEO=∠FCO=90°,
∴直线EF与⊙O相切.
(2)如图,连接DF.
∵由(1)知,△EFO≌△CFO,
∴FC=EF=
3 |
∴BC=2
3 |
在直角△FDC中,tan∠D=
BC |
DC |
3 |
∴∠D=60°.
∵点E、P、C、D四点共圆,
∴∠EPC+∠D=180°,
∴∠EPC=120°.
故填:120°.
点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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