Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上的任意一点，F是边BC延长线上的一点，EF交边CD于点G，AE=CF．
（1）求证：点D在线段EF的垂直平分线上；
（2）如果EF交正方形的对角线BD于点P，BP=BE，求证：EP=FG．

Answer 1

分析：（1）连接DE，DF，证明△AED≌△DCF，得DE=DF，问题得证；
（2）由BP=BE，AB∥CD，可推得DP=DG，再证：△EDP≌△FDG，即可得到EP=FG．

解答：证明：（1）连接ED和DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCF=90°，
在△AED和△DCF中，

AD=CD ∠A=∠DCF=90° AE=CF

，
∴△AED≌△DCF（SAS），
∴ED=DF，
∴△EDF为直角三角形，D为其顶点，EF为底边
∴点D在线段EF的垂直平分线上；

（2）∵△EDF为直角三角形
∴∠DEP=∠DFG，
∵BP=BE，
∴∠BEF=∠BPE，
∵∠BPE=∠DPG，
∴∠BEF=∠BPE，
∴∠BEP和∠CGF同位角，
∴∠BEP=∠CGF，
∴∠BEP和∠CGF，
∠CGF=∠DGE，
∴∠BEP=∠DGE，
∴∠EPD=∠DGF，
∴∠EDP=∠GDF，
∴∠BEP=∠DGE，
∴△EDP≌△FDG，
∴EP=FG．

点评：本题考查了正方形的性质、垂直平分线的判定和性质等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性强，难度不小．