题目内容
【题目】问题情境:
我们知道,“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用.
已知三角板中,
,长方形
中,
.
问题初探:
(1)如图(1),若将三角板的顶点
放在长方形的边
上,
与
相交于点
,
于点
,求
的度数.
过点作
,则有
,从而得
,从而可以求得
的度数.
由分析得,请你直接写出:的度数为____________,
的度数为___________.
类比再探:
(2)若将三角板按图(2)所示方式摆放(
与
不垂直),请你猜想写出
与
的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)30°,60°;(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由见解析
【解析】
(1)利用∠CAF=∠BAF-∠BAC求出∠CAF度数,求∠EMC度数转化到∠MCH度数;
(2)过点C作CH∥GF,得到CH∥DE,∠CAF与∠EMC转化到∠ACH和∠MCH中,从而发现∠CAF、∠EMC与∠ACB的数量关系.
(1)过点C作CH∥GF,则有CH∥DE,
所以∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,
∵∠BAF=90°,
∴∠CAF=90°-60°=30°.
∠MCH=90°-∠HCA=60°,
∴∠EMC=60°.
故答案为30°,60°.
(2)∠CAF+∠EMC=90°,理由如下:
过点C作CH∥GF,则∠CAF=∠ACH.
∵DE∥GF,CH∥GF,
∴CH∥DE.
∴∠EMC=∠HCM.
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°.
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