Question

如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．同学甲认为：可用式子|a﹣b|来表示“正度”，|a﹣b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|α﹣β|来表示“正度”，|α﹣β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．探究：
（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．

Answer 1

解：（1）同学乙的方案较为合理．因为|α﹣β|的值越小，α与β越接近60°，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等． 同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等．如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2﹣4|=2≠|4﹣8|=4．
（2）对同学甲的方案可改为用，等（k为正数）来表示“正度”．
（3）还可用|α﹣60 °|，|β﹣60 °|，|α+β﹣120 °|，等来表示“正度”．