题目内容
（创新学习）如图，等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把等腰三角形与正三角形的接近程度称为“正度”．在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等．
设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为α，β．要求“正度”的值是非负数．
同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同学乙认为：可用式子|α-β|来表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？
（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；
（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式．
分析：将甲乙两同学的推测进行推理，若代入特殊值不成立，则推理不成立．
解答：解：（1）同学乙的方案较为合理．因为|α-β|的值越小，α与β越接近60°，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等．
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等．如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4．
（2）对同学甲的方案可改为用
，
等（k为正数）来表示“正度”．
（3）还可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，
[(α-60°)2+2(β-60°)2]等来表示“正度”．
同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等．如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|4-8|=4．
（2）对同学甲的方案可改为用
| |a-b| |
| ka |
| |a-b| |
| kb |
（3）还可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，
| 1 |
| 3 |
点评：此题是以到开放性问题，体现了探索发现的过程：发现问题，作出假设，进行验证，加以证明．
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