Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值；
（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°或135°
（2）解：∵△OAB为等腰直角三角形，

∴AB= OA=6 ，

∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，

∴OE= AB=3 ，

∴CE=OC+OE=3+3 ，

△ABC的面积= CEAB= ×（3+3 ）×6 =9 +18．

∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，

△ABC的面积最大，最大值为9 +18

（3）解：①如图，过C点作CF⊥x轴于F，

∵OC∥AD，

∴∠COF=∠DAO，

又∵∠ADO=∠CFO=90°

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴ = ，即 = ，解得CF= ，

在Rt△OCF中，OF= = ，

∴C点坐标为（﹣ ， ）；

故所求点C的坐标为（﹣ ， ），

当C点在第一象限时，同理可得C点的坐标为（ ， ），

综上可得，点C的坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）．

② 当C点坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，CF= ，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直线BC为⊙O的切线；

当C点坐标为（﹣ ， ）或（ ， ）时，显然直线BC与⊙O相切．

综上可得：C点坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）时，显然直线BC与⊙O相切．

【解析】解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6）， ∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
（1）根据点A和点B坐标易得△OAB为等腰直角三角形，则∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以当C点在y轴左侧时，有∠BOC=∠OBA=45°；当C点在y轴右侧时，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）由△OAB为等腰直角三角形得AB= OA=6 ，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算△ABC的面积；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，易证Rt△OCF∽Rt△AOD，则 = ，即 = ，解得CF= ，再利用勾股定理计算出OF= ，则可得到C点坐标；②由于OC=3，CF= ，所以∠COF=30°，则可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根据“SAS”判断△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADO=90°，再根据切线的判定定理可确定直线BC为⊙O的切线．