题目内容
【题目】课题学习
问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题:如图1,E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,
(1)①在图1中画出旋转后的图形;②图1中,与线段AE垂直的线段是 ,说明你的理由;
问题背景2 在正方形ABCD中,∠EAF=45°,点F为BC上一点,点E为DC上一点,∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N.连接EF。继续探索时,
甲发现:线段BF,EF,DE之间存在着关系式EF=BF+DE;
乙发现:△CEF的周长是一个恒定不变的值;
丙发现:线段BN,MN,DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2
(2)请你对甲、乙、两三人中一个结论进行研究,作出判断,并说明你的理由。
【答案】(1) ①作图见解析;②AK⊥AE,理由见解析;(2) 甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的.理由见解析.
【解析】试题分析: (1)根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可;
(2)①选择甲,延长CB到K,使BK=DE,连AK,由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED,可得出∠KAF=∠FAE,进而可得出△AKF≌△AEF,由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE;
②选择乙,延长CB到K,使BK=DE,连AK,由图形旋转的性质可得△AKB≌△AED,由全等三角形的性质可得到△AKF≌△AEF,再根据BK=DE即可得出△CEF周长为定值;
③选择丙,在AK上截取AG=AM,连接BG,GN,由图形旋转的性质可得△ABG≌△ADM,△GAN≌△NAM,再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2.
试题解析:
画图如图1,
延长CB至K,使BK=DE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90,
∴△ADE≌△ABK,
∴∠DAE=∠BAK,
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90,
∴AK⊥AE.
故答案为AK⊥AE.
(2)选择甲发现:
证明:如图2,
延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED,
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
选择乙发现:
证明:如图2,
延长CB到K,使BK=DE,连AK,则△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
△CEF周长=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)
选择丙发现:
证明:如图3,
在AK上截取AG=AM,连接BG,GN.
∵AG=AM,AB=AD,∠KAB=∠EAD,
∴△ABG≌△ADM,
∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.
又∵∠ABD=45°,
∴∠GBD=90°.
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
又∵AG=AM,AN=AN,
∴△GAN≌△NAM.
∴NG=MN,
∵∠GBD=90°,
∴BG +BN =NG ,
∴BN +DM =MN .
综上所述:甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的。
点睛:本题考查的是图形的旋转,通过旋转,利用全等三角形,发现边的关系,再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系,利用构造法证明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此题的关键.