题目内容

【题目】课题学习

问题背景1 甲、乙、丙三名同学探索课本上一道题:如图1,E是边长为a的正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,

(1)①在图1中画出旋转后的图形;②图1中,与线段AE垂直的线段是 ,说明你的理由;

问题背景2 在正方形ABCD中,∠EAF=45°,点F为BC上一点,点E为DC上一点,∠EAF的两边AE、AF分别与直线BD交于点M、N.连接EF。继续探索时,

甲发现:线段BF,EF,DE之间存在着关系式EF=BF+DE;

乙发现:△CEF的周长是一个恒定不变的值;

丙发现:线段BN,MN,DM之间存在着关系式BN2+DM2=MN2

(2)请你对甲、乙、两三人中一个结论进行研究,作出判断,并说明你的理由。

【答案】(1) ①作图见解析;②AK⊥AE,理由见解析;(2) 甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的.理由见解析.

【解析】试题分析: 1)根据图形旋转前后所构成的两图形全等画出图形即可;

2①选择甲,延长CBK,使BK=DE,连AK,由图形旋转的性质可得AKB≌△AED,可得出∠KAF=FAE,进而可得出AKF≌△AEF,由全等三角形的性质及BK=DE可得出EF=BF+DE

②选择乙,延长CBK,使BK=DE,连AK,由图形旋转的性质可得AKB≌△AED,由全等三角形的性质可得到AKF≌△AEF,再根据BK=DE即可得出CEF周长为定值;

③选择丙,在AK上截取AG=AM,连接BGGN,由图形旋转的性质可得ABG≌△ADMGAN≌△NAM,再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2

试题解析:

画图如图1

延长CBK,使BK=DE

∵四边形ABCD是正方形,

AD=AB,ADE=ABK=BAD=90

∴△ADE≌△ABK

∴∠DAE=BAK

∴∠EAK=BAK+BAE=DAK+BAE=BAD=90

AKAE.

故答案为AKAE.

(2)选择甲发现:

证明:如图2

延长CBK,使BK=DE,AK,AKB≌△AED

∵∠BAF+DAE=45°

∴∠KAF=45°

∴∠KAF=FAE.

AK=AEAF=AF

∴△AKF≌△AEF.

KF=EF.

又∵BK=DE

EF=BF+DE

选择乙发现:

证明:如图2

延长CBK,使BK=DE,AK,则△AKB≌△AED

∵∠BAF+DAE=45°

∴∠KAF=45°

∴∠KAF=FAE.

AK=AEAF=AF

∴△AKF≌△AEF.

KF=EF.

又∵BK=DE

EF=BF+DE

CEF周长=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)

选择丙发现:

证明:如图3

AK上截取AG=AM,连接BGGN.

AG=AMAB=ADKAB=EAD

∴△ABG≌△ADM

BG=DM,ABG=ADB=45°.

又∵∠ABD=45°

∴∠GBD=90°.

∵∠BAF+DAE=45°

∴∠KAF=45°

∴∠KAF=FAE.

又∵AG=AMAN=AN

∴△GAN≌△NAM.

NG=MN

∵∠GBD=90°

BG +BN =NG

BN +DM =MN .

综上所述:甲、乙、丙三名同学的发现都是正确的。

点睛:本题考查的是图形的旋转,通过旋转,利用全等三角形,发现边的关系,再利用直角三角形的勾股定理找到三条线段的平方关系,利用构造法证明△AKF≌△AEF, GAN≌△NAM是解答此题的关键.

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