题目内容
如图,P是正方形ABCD内一点,PA=a,PB=2a,PC=3a.将△APB绕点B按顺时针方向旋转,使AB与BC重合,连接PP′,得到△PBP′.
(1)求证:△PBP′是等腰直角三角形;
(2)猜想△PCP′的形状,并说明理由.
(1)求证:△PBP′是等腰直角三角形;
(2)猜想△PCP′的形状,并说明理由.
(1)证明:由图形旋转可知:△BAP≌△BCP′,
∴BP=BP′=2a,AP=CP′=a,∠ABP=∠CBP′.
由四边形ABCD是正方形,得∠ABC=90°,
∴∠PBP′=90°,
∴△PBP′是等腰直角三角形.
(2)由(1)知△PBP′是等腰直角三角形,
∴PP′=
=2
a,
在△CPP′中,PP′=2
a,PC=3a,CP′=a,
且a2+(2
a)2=9a2=(3a)2,
∴△PCP′是直角三角形.
∴BP=BP′=2a,AP=CP′=a,∠ABP=∠CBP′.
由四边形ABCD是正方形,得∠ABC=90°,
∴∠PBP′=90°,
∴△PBP′是等腰直角三角形.
(2)由(1)知△PBP′是等腰直角三角形,
∴PP′=
(2a)2+(2a)2 |
2 |
在△CPP′中,PP′=2
2 |
且a2+(2
2 |
∴△PCP′是直角三角形.
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