Question

把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm．
（1）图1中线段AO的长=          cm；DO=         cm

图1
（2）如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度（0°＜α＜90°）得△D₁CE₁,D₁C与AB相交于点F,若△BCE₁恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长．
 
图2

Answer 1

（1）AO=cm；DO=cm； （2）.

试题分析：（1）作,利用三角形相似来求出线段AO ,DO的长； 
（2）连接BE₁ ,过点E₁作E₁G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,根据三角形相似求出BF,即可得到答案.
试题解析：(1)如图,过点A作,

∵∠ACB与∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB= ,
∴AC=BC=6,
∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10．
∴ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,
∵
∴△AFC∽△DEC
∴ ,即AF= ,
∴ ,即EF=2,
∴BF=EF+BE=2+1=3,
∵
∴△BOE∽△BAF
∴,即AO= 
,即OE= 
∴DO=DE-OE= 
(2) 连接BE₁ ,过点E₁作E₁G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,

∵△DCE绕着点C 逆时针旋转α度
∴∠E₁CG=α,
∵△BCE₁恰好是以BC为底边的等腰三角形,
∴E₁G是线段BC的中垂线
∵E₁C=5,BC=6
∴CG=BH=3,,
∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,
∴BH=FH,令BH=FH=x,
则：CH=6-x
在△FHC与△CG E₁中
∵∠E₁CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,
∴∠E₁CG =∠CFH,
∵∠FHC=∠CG E₁=90°,
∴△FHC∽△CG E₁,
∴ ,即： ,解得 ,
∴FH=,
∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,
∴ 
∴ .