Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）经过多少时间，四边形ABQP成为矩形？
（2）经过多少时间，四边形PQCD成为等腰梯形？
（3）问四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

（1）∵∠B=90°，AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
此时有t=22-3t，解得t=

11

2

．
∴当t=

11

2

s时，四边形ABQP成为矩形；

（2）∵PD∥QC，
∴当PQ=CD，PD≠QC时，四边形PQCD为等腰梯形．
过P，D分别作PE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
∴四边形ABFD是矩形，四边形PEFD是矩形，
∴BF=AD=16cm，EF=PD，
∵BC=22cm，
∴FC=BC-BF=22-16=6（cm）．
由等腰梯形的性质知，QE=FC=6cm．
∴QC=EF+QE+FC=PD+12=AD-AP+12，
即3t=（16-t）+12，解得t=7．
∴当t=7s时，四边形PQCD是等腰梯形；

（3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，BP=

AB2+AP2

=

82+t2

=

82+32

=

73

≠13，
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意，得

16-t=22-vt 16-t= 82+t2

，解得

t=6 v=2

．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．