Question

【题目】如图15，已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．

(1)求m的值；

(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；

(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S△APQ＝S△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)4；（2）8；（3）不存在.

【解析】试题分析：（1）两图象有一个交点，则对应的方程组有一组解，即△=0，代入计算即可求出m的值；

（2）作出辅助线，得到△OAC∽△OPD， ＋＝2，同理＋＝2，AC，BE是x2-（k+3）x+4=0两根，即可；

（3）由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD，建立方程（k+3）2=16即可．

试题解析：(1)∵当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，

∴方程组有且只有一组解．

消去y，得x2－4x＋m＝0，所以此一元二次方程有两个相等的实数根．

∴△＝0，即(－4)2－4m＝0．

∴m＝4．

(2)如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，

则△OAC∽△OPD，∴＝．

同理， ＝．

∵＋＝，∴＋＝2．

∴＋＝2．

∴＋＝，即＝．

解方程组得x＝，即PD＝．

由方程组消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0．

∵AC，BE是以上一元二次方程的两根，

∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4．

∴＝．

解得b＝8．

(3)不存在．理由如下：

假设存在，则当S△APQ＝S△BPQ时有AP＝PB，

于是PD－AC＝PE－PD，即AC＋BE＝2PD．

由(2)可知AC＋BE＝k＋3，PD＝，

∴k＋3＝2×，即(k＋3)2＝16．

解得k＝1(舍去k＝－7)．

当k＝1时，A，B两点重合，△QAB不存在．

∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ．